I.
Pengertian
Persamaan Dua Variabel
Sebelum mempelajari Persamaan Dua
Variabeltentunya kita sudah ingat tentang persamaan Linier Satu Variabel
(PLSV). PLSV adalah persamaan yang memuat satu variabeldan pangkat dari
variabelnya adalah satu.
Nah sekarang coba kita ingat kembali bahwa persamaan garis
lurus pada bidang cartesiusdapat dinyatakan dalam bentuk ax + by = c dengan a,
b, c konstanta real dengan a, b
0 dan
x, y adalah variabel pada himpunan bilangan real.
Sekarang perhatikan persamaa x + 4y
= 8, memiliki dua variabel yaiti x dan y serta masing-masing variabel
berpangkat satu.
Jadi kesimpulannya adalah Persamaan
Linier Dua Variabel adalah suatu persamaan yang mempunyai dua variabel dan
masing-masing variabel berpangkat satu, dan dapat dinyatakan dalam bentuk : ax
+ by = c dengan a, b, c
R,
a, b
0
dan x, y suatu variabel.
Beberapa contoh PLDV
1.
3x + 6y = 12
2.
5p – 3q + 30 = 0
II. Menentukan Penyelesaian Persamaan Linier Dua Variabel
II. Menentukan Penyelesaian Persamaan Linier Dua Variabel
Perhatiakan persamaan x + y = 7.
Persamaan x + y = 7 masih merupakan kalimat terbuka , artinya belum mempunyai
nilai kebenaran. Jika x diganti bilangan 2, maka nilai y yang memenuhi adalah
5, karena pasangan bilangan (2,5) memenuhi persamaan tersebut, maka persamaaan
x + y = 7 menjadi kalimat yang benar. Dalam hal ini dikatakan bahwa (2,5)
merupakan salah satu penyelesaian dari persamaan x + y = 7.
Untuk mencari nilai x dan y yang memenuhi
persamaan x + y = 7 akan lebih mudah dengan membuat table seperti berikut :
|
X
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
Y
|
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
|
(x,y)
|
(0,7)
|
(1,6)
|
(2,5)
|
(3,4)
|
(4,3)
|
(5,2)
|
Jadi HP dari persamaan x + y = 7 adalah (0,7), (1,6), (2,5), (3,4), (4,3),
(5,2). Gambar grafik persamaan x + y = 7 pada bidang cartesius tampak seperti
gambar grafik lihat lampiran gambar grafik 1.1
Contoh
1.
Tentukan himpunan persamaan
dari 2x + 3y = 6 dengan x
(0,1,2,3) dan y
(bilangan bulat).
Untuk x = 0 maka Untuk
x = 2 maka
2x + 3y = 6
2x + 3y = 6
2.0 + 3y = 6 2.2 + 3y = 6
3y = 6 3y = 6 - 4
y =
2 3y = 2
Jadi HP (0,2) y = 2/3
Jadi
HP untuk x = 2 tidak memenuhi syarat.
Untuk x = 1 maka Untuk
x = 3 maka
2x + 3y = 6 2x
+ 3y = 6
2.0 + 3y = 6 2.3
+ 3y = 6
3y = 6
2 3y = 6
6
y = 4/3 y = 0
Jadi HP untuk x = 1 tidak Jadi HP (3,0)
Memenuhi syarat.
Dari contoh diatas jika
x dan y
(bilangan real), maka ada tak terhingga banyak
pasangan berurutan dalam himpunan penyelesaian.
III. Sistem Persamaan Linier
Dua Variabel (SPLDV)
Sistem Persamaan Linier
Dua Variabel (SPLDV) terdiri atas dua persamaan linier dua variabel, yang
keduanya tidak berdiri sendiri, sehingga kedua persamaan hanya memiliki satu
penyelesaian.
Berikut ini beberapa contoh SPLDV :
1.
x + y = 3 dan 2x
3y
= 1
2.
5x + 4y + 7 = 0 dan -3x
2y
= 4
Menentukan Himpunan
Penyelesaian SPLDV
Himpunan penyelesaian
SPLDV dapat di selesaikan dengan 3 cara, yaitu :
1.
Dengan cara metode
grafik.
2.
Dengan cara metode
substitusi.
3.
Dengan cara metode
eleminasi.
Himpunan penyelesaian
SPLDV dengan metode grafik
Pada
metode grafik, himpunan penyelesaian dari SPLDV adalah koordinat titik potong
dua garis tersebut. Jika garis-garisnya tidak berpotongan di satu titik, maka
himpunana penyelesaiannya adalah himpunan kosong.
Untuk menentukan
himpunan penyelesaian SPLDV dengan cara metode grafik langkah-langkahnya adalah
sebagai berikut :
1.
Menggambar garis dari
kedua persamaan pada bidang cartesius.
2.
Koordinat titik potong
dari garis merupakan himpunan penyelesaian, jika kedua garis tidak berpotongan
(sejajar), maka SPLDV tidak mempunyai penyelesaian.
Contoh
:
Tentukan
himpunan penyelesaian dari system persamaan 2x + 3y = 12 dan 4x
3y
6
= 0
Jawab
!
2x
+ 3y = 12 4x
3y
6
= 0
4x
3y
= 6
Titik
potong dengan sumbu x, y =0 titik
potong dengan sumbu x, y = 0
2x
+ 3.0 = 12 4x
3y
= 6
2x = 12 4x
3.0 = 6
x = 6 x = 1 ½
Jadi HP (6,0) jadi
HP (1 ½,0)
Titik
potong dengan sumbu y, x = 0 titik
potong dengan sumbu y, x = 0
2x + 3y = 12 4x
3y
= 6
2.0 + 3y = 12 4.0
3y
= 6
3y = 4
3y
=
Jadi HP (0,4) jadi
HP (0, -2)
Apabila di gambar grafiknya, tampak akan
seperti pada lampiran grafik di 1.2
Jadi
HP (3,2)
Himpunan
Penyelesaian SPLDV dengan Metode Substitusi
Pada metode substitusi
terlebih dahulu kita menyatakan variabel yang satu kedalam variabel yang lain
dari suatu persamaan, kemudian menggantikan variabel itu dalam persamaan yang
lain.
Untuk menentukan
himpunan penyelesaian SPLDV dengan cara metode substitusi langkah-langkahnya
adalah sebagai berikut :
1.
Menyatakan variabel
dalam variabel lain, misal menyatakan x dalam y atau sebaliknya.
2.
Mensubstitusikan
persamaan yang sudah kita rubah pada persamaan yang lain.
3.
Mensubstitusikan nilai
yang sudah ditemukan dari variabel x atau y ke salah satu persamaan
Contoh
:
Tentukan
himpunan penyelesaian dari persamaan x + 2y = 4 dan 3x + 2y = 12
x
+ 2y = 4 kita nyatakan x dalam y, diperoleh : x = 4
2y
substitusikan
x = 4
2y
ke persamaan 3x + 2y = 12
3
( 4
2y
) + 2y = 12
12
6y
+ 2y = 12
y = 0
Substitusikan
y = 0 ke persamaan x = 4
2y
x
= 4
2y
x
= 4
2
. 0
x
= 4
Jadi
HP ( 4, 0 )
Himpunan
Penyelesaian SPLDV dengan metode Eleminasi
Pada metode eleminasi
untuk menentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV, caranya dengan menghilangkan
salah satu variabel dari system persamaan tersebut. Pada cara eleminasi
koefisien dari variabel harus sama atau dibuat menjadi sama.
Untuk
menentukan himpunan penyelesaian SPLDV dengan cara metode eleminasi
langkah-langkahnya sebagai berikut :
1.
Nyatakan ke dua
persamaan ke bentuk ax + by = c
2.
Samakan koefisien dari
variabel yang akan di hilangkan, melalui cara mengalihkan dengan bilangan yang
sesuai.
3.
Jika koefisien dari
variabel bertanda sama ( sama positif atau negative ) maka kurangkan ke dua
persamaan tersebut.
4.
Jika koefisien dari
variabel yang di hilangkan tandanya berbeda ( positif atau negative ) maka
jumlahkan kedua persamaan tersebut.
Contoh
:
Tentukan
himpunan penyelesaian dari persamaan x + y = 4 dan x
y
= 2
Mengeleminasi
x
x
+ y = 4 ( koefisien x sudah sama dan tandanya sama
positif, maka kita kurangkan ke
x
- 2y = 2 dua persamaan tersebut )
2y =
2
y = 1
Catatan
: x – x = 0
y – ( -y ) = 2y
Mengeleminasi
y
x
+ y = 4 ( koefisien y sudah sama
dan tandanya berbeda, maka kita jumlahkan kedua per
x
y
= 2 samaan )
2x = 6
x =
3
Catatan
: x + y = 2x
y + ( -y ) = 0
Jadi
HP ( 3,1 )
Soal-soal
model matematika dari masalah sehari-hari yang melibatkan SPLDV
1.
Donny membeli 2
penggaris dan 2 buku dengan harga Rp. 14.000,00, sedangkan Darma membeli 1
penggaris dan 3 buku dengan harga Rp. 17.000,00. Berapa harga sebuah penggaris
dan sebuah buku ?
Jawab :
Misalkan harga sebuah penggaris = p
harga sebuah buku = b
diperoleh model matematika : 2p + 2b =
14.000 x 1
2p
+ 2b = 14.000
p + 3b = 17.000 x 2
2p
+ 6b = 34.000
-4b = - 20.000
b = 5.000
Substitusikan b = 5.000 ke p + 3b = 17.000
p +
3. 5000 = 17.000
p +
15.000 = 17.000
p = 2.000
Jadi harga sebuah penggaris adalah Rp.
2.000,00 dan harga sebuah buku adalah Rp. 5.000
2.
Uang Agus Rp.
150.000,00 lebihnya dari uang Bambang. Jika tiga kali uang Agus ditambah dua
kali uang Bambang jumlahnya Rp. 950.000,00. Tentukan besar masing-masing uang
Agus dan uang Bambang !
Jawab :
Misalkan uang Agus = a
uang Bambang = b
diperoleh model matematika a = b +
150.000
3a + 2b = 950.000
Kita selesaikan dengan metode substitusi
a = b + 150.000 kita substitusikan pada
3a + 2b = 950.000
3 (b + 150.000) + 2b = 950.000
3b + 450.000 + 2b = 950.000
5b = 500.000
5b = 100.000
Kita substitusikan b = 100.000 ke a = b +
150.000
a =
100.000 + 150.000
a = 250.000
Jadi besar uang Agus adalah Rp.
250.000,00 dan besar uang Bambang adalah Rp. 100.000
3.
Wawan membeli 2 kg
mangga dan 1 kg apel dan ia harus membayar Rp. 150.000,00 sedangkan Risa
membeli 1 kg mangga dan 2 kg apel dengan
harga Rp. 18.000,00. Berapakah harga 5 kg mangga dan 3 kg apel ?
Jawab :
Misalkan harga 1 kg mangga = x
harga 1 kg apel = y
diperoleh model matematika 2x + y =
15.000 x 1
2x
+ y = 15.000
x + 2y = 18.000 x 2
2x + 4y = 36.000
y – 4y = 15.000 – 36.000
-3y = - 21.000
y = 7.000
kita substitusikan y = 2x + y = 15.000
2x + 7.000 =
15.000
2x = 15.000
– 7.000
2x = 8.000
x = 4.000
Jadi harga 1 kg mangga adalah Rp. 4.000
dan harga 1 kg apel adalah Rp. 7.000
Jadi harga 5 kg mangga dan 3 kg apel
adalah
5x + 2y = (5 x Rp. 4.000,00) + (3 x Rp.
7.000)
= Rp.20.000 + Rp. 21.000
= Rp. 41.000
4.
Marwan menggendarai
sepeda motor dari Denpasar ke Gilimanuk dengan kecepatan rata-rata 60 km/jam.
Untuk menempuh jarak kedua tempat itu jika dikehendaki lebih cepat satu jam,
maka kecepatan rata-ratanya diubah menjadi 80 km/jam. Tentukan dua persamaan
dalam soal tersebut dan tentukan jarak kedua tempat tersebut.
Jawab :
Misalkan jarak kedua tempat itu = x
Waktu yang diperlukan = t
Dengan kecepatan rata-rata 60 km/jam,
maka jarak = kecepatan . waktu
x = 60 t
dengan kecepatan rata-rata 80 km/jam,
maka jarak = kecepatan . waktu
x = 80 ( t – 1 )
x = 80t – 80
jadi ada dua
persamaa yaitu x = 60t dan x = 80t - 80
Dari system persamaan diatas kita
selesaikan dengan substitusi
60t = 80t – 80
60t – 80t = -80
-20t = -80
t = 4
Waktu yang di perlukan pada kecepatan 60
km/jam adalah 4
Jadi, jarak kedua tempat = 60 km/jam . 4
jam
= 240
km
5.
Harga 4 ekor kambing
dan 2 ekor sapi adalah Rp. 8.000.000,00. Harga 1 kambing dan 3 ekor sapi adalah
Rp. 8.250.000,00. Tentukan harga 5 ekor kambing dan seekor sapi !
Jawab :
Misalkan kambing = k
Sapi = p
Diperoleh model matematika 4k + 2p =
8.000.000
k + 3p = 8.250.000
Kita selesaikan system persamaan diatas
dengan mengeleminasi k
4k + 2p = 8.000.000 1
4k
+ 2p = 8.000.000
k
+ 3p = 8.250.000 4
4k
+ 12p = 33.000.000
-10p
= -25.000.000
p = 2.500.000
Jadi
harga 1 sapi Rp. 2.500.000,00
Substitusikan
p = 2.500.000 ke k + 3p = 8.250.000
k + 3 (2.500.000) = 8.250.000
k + 7.500.000 = 8.250.000
k = 8.250.000 – 7.500.00
k = 750.000
Jadi harga 1 kambing adalah Rp.
750.000,00 dan harga 1 sapi adalah Rp. 2.500.000,00
Jadi harga 5 kambing dan 1 sapi adalah :
5k + p = 5 . Rp.750.000 +Rp. 2.500.000
=Rp. 3.750.000 +Rp. 2.500.000
=Rp. 6.250.000,00
Contoh soal dengan persamaan
1.
Tentukan himpunan
penyelesaian dari system persamaan x + y = 4 dan x – y = 2
x + y = 4 x –
y = 2
titik potong dengan sumbu x, y = 0 titik potong dengan sumbu y, x =
0
x + y = 4
x – y = 2
x + 0 = 4 0 – y = 2
x = 4
y = 2
Jadi diperoleh titik (4,0) Jadi diperoleh
titik (0,2)
Titik potong dengan sumbu y, x = 0 titik potong dengan sumbu y, x = 0
x + y = 4
x – y = 2
0 + y = 4
x – 0 = 2
y = 4
x = 2
Jadi diperoleh titik (0,4) Jadi diperoleh
titik (2,0)
Gambar grafik lihat di lampiran 1.3
Jadi HP (3,1)
2.
Tentukan himpunan
penyelesaian dari system persamaan 2x – 3y = 6 dan 3y – 2x = 3
Titik potong dengan sumbu x, y = 0 Titik potong dengan sumbu x, y =
0
2x – 3y = 6
3y – 2x = 3
2x – 3.0 = 6
3.0 – 2x = 3
2x
- 0 = 6
-2x = 3
x = 3
x = 3/-2
Jadi diperoleh titik (3,0) Jadi diperoleh
titik (-3/2,0)
Titik potong dengan sumbu y, x = 0 Titik potong dengan sumbu y, x =
0
2x – 3y = 6
3y – 2x = 3
2.0 – 3y = 6
3y – 2.0 = 3
3y = 6
3y = 3
y = 2
y = 1
Jadi diperoleh titik (0,2) Jadi diperoleh
titik ( 0,3)
Gambar grafik lihat di lampiran 1.4
Jadi HP (
3.
Tentukan himpunan
penyelesaian dari system persamaan x – 3y = 5 dan 3x + 2y = -7
x – 3y = 5 kita nyatakan x dalam y
diperoleh x = 5 + 3y
Substitusikan x = 5 + 3y ke persamaan 3x
+ 2y = -7
3 (5 + 3y) + 2y = -7
15 + 9y + 2y = -7
11y = -7 (-15)
11y = 22
y = 11
Substitusikan y = 11 ke persamaan x = 5 +
3y
x = 5 + 3.11
x = 5 + 33
x = 38
Jadi HP (38,11)
4.
Tentukan himpunan
penyelesaian dari system persamaan 2x + 3y = 6 dan x – y = 3 dengan metode
eleminasi
2x + 3y = 6 x 1
2x
+ 3y = 6
x
+ y = 3 x 3
3x
– 3y = 9
2x + 3x = 15
5x = 15
x = 3
2x + 3y = 6 x 1
2x
+ 3y = 6
x
+ y = 3 x 2
2x
– 2y = 6
3y – (-2y) = 0
3y + 2y = 0
5y = 0
y =
0
Jadi HP (3.0)
5.
Tentukan himpunan
penyelesaian dari system persamaan 2x = 3y + 17 dan 3x + y – 9 = 0
Jawab :
Kita nyatakan persamaan dalam bentuk ax +
by = c
2x – 3y = 17 dan 3x + y = 9
Mengeleminasi x. karena koefisien x belum
sama , maka harus di samakan
2x – 3y = 17 x 3
6x
– 9y = 51
3x + y
= 9 x 2
6x
+ 2y = 18
-11y = 33
y = -3
mengeleminasi y.
2x – 3y = 17 x 1
2x
– 3y = 17
3x + y
= 9 x 3
9x
+ 3y = 27
11x = 44
x
= 4
Jadi HP (4, -3)
bsa buatkn makalah tntang "PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL" gk???
BalasHapus